指数运算和指数函数
一、知识点
1根式的性质
（1）当
为奇数时，有
a

a
（2）当
为偶数时，有
a

aa0aaa0
（3）负数没有偶次方根2幂的有关概念
（4）零的任何正次方根都是零
1正整数指数幂：a
aaaa
N

2零指数幂a01a0
3负整数指数幂
ap

1ap
a

0pN
m
4正分数指数幂a
ama0m
N且
1
5负分数指数幂
m
a

1
a0m
N且
1
m
a

60的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
3有理指数幂的运算性质
1arasarsa0rsQ
2arsarsa0rsQ
3abrarasa0b0rQ
4．指数函数定义：函数yaxa0且a1叫做指数函数。
5指数函数的图象和性质
yax
0a1
a1
图象
定义域R
值域0∞
过定点（0，1），即x0时，y1
性质
定点
（1）a1，当x0时，y1；当x0时，0y1。（2）0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1。
单调性在R上是减函数
在R上是增函数
对称性yax和yax关于y轴对称
f二、指数函数底数变化与图像分布规律（1）
①yax②ybx③ycx④ydx
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈0∞时，bxaxdxcx（底大幂大）
x∈－∞0时，bxaxdxcx（2）特殊函数
y2xy3xy1xy1x的图像：
2
3
三、指数式大小比较方法
1单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较
2中间量法
3分类讨论法
4比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断A1，或A1即可．
B
B
四、典型例题
类型一、指数函数的概念
例1．函数ya23a3ax是指数函数，求a的值．
【答案】2
【解析】由ya23a3ax是指数函数，
可得
a23a31
a

0且a

1
解得
aa

1或a20且a1
，所以
a

2
．
举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）y4x；（2）yx4；（3）y4x；（4）y4x；
（5）y2a1xa1且a1；（6）y4x．2
【答案】（1）（5）（6）
f【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）
y

4x


14
x
，符合指数函数的定
义，而（2）中底数x不是常数，而4不是变数；（3）是1与指数函数4x的乘积；（4）中底数40，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域
1y3x；2y4x2x1；313x
32x11；4ya
2x1
x1a为大于1的常数
9
【答案】（1）R，0，1；（2）R3；4
（3）
r