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费马点的小论文
费马PierredeFermat16011665是一位律师和法国政府的公务员,他利用闲暇的时间研究数学,他从未发表他的研究发现,但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信。曾经,费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心。
费马点的定义费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。费马点的证明证明一Part1当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P延长BA至C使得ACAC,做∠CAP∠CAP,并且使得APAPPCPC,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)则△APC≌△APC∵∠BAC≥120°∴∠PAP180°∠BAP∠CAP180°∠BAP∠CAP180°∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP中,AP≥PP∴PAPBPC≥PPPBPCBCABAC所以A是费马点
Part2当所有内角都小于120°时
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f做出△ABC内一点P,使得∠APC∠BPC∠CPA120°,分别作PAPBPC的垂线,交于DEF三点,如图,再作任一异于P的点P,连结PAPBPC,过P作PH垂直EF于H易知∠D∠E∠F60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S则有2SdPAPBPC∵PA≥PH所以2S△EPF≤PA×d同理有2S△DPF≤PB×d2S△EPD≤PC×d相加得2S≤dPAPBPC即PAPBPC≤PAPBPC,当且仅当PP重合时取到等号所以P是费马点证明二如右图所示,ABE、ACH、BCG均为等边三角形,连接AG、CE、BH,CE与AB相交于F,则:∵AEC≌ABH,∴∠1∠2,∴BFP∽EFA,∠3∠460°在PE上取点D,使得DBP为正三角形则ABP≌EBD,得APED∴PAPBPCDEPDPCCE
费马点的应用1一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元km,水下电缆为4万元km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?2有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点,问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?
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