相似三角形中的动点问题例151在△ABC中，AB6cm，AC12cm，动点D以1cms的速度从点A出发到点B止，动点E以2cms的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．
AD
EB
C
例152如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B90°，AB8cm，AD12cm，BC18cm，点P从点A出发以2cms的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cms的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
f例153如图，Rt△ABC中，∠ACB90°，AC6cm，BC8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
f例154已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C90°，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cms；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cms；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
f例155如图，在△ABC中，ABAC5，BC6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A处．连结BA，设ADx，△ADE的边DE上的高为y．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求x的值；（3）当x取何值时，△ADB是直角三角形．
A
A
D
E
B
B
C
C
f例156如图，在△ABC中，ABAC2，A90，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，EPF45．（1）求证：△BPE∽△CFP．（2）设BEx，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
例157如图，已知Rt△ABC中，∠C90°，AC8cm，BC6cm，点P自B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，r