131函数的单调性与导数（一）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系掌握利用导数判断函数单调性的方法二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数fx的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有fx1＜fx2，那么就说fx在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有fx1＞fx2，那么就说fx在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝fx在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝fx在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝fx的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．解：取x1＜x2，x1、x2∈R，fx1－fx2＝x12－4x13－x22－4x23＝x1－x2x1＋x2－4当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，fx1＞fx2，∴y＝fx在－2单调递减．当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，fx1＜fx2，∴y＝fx在2＋∞单调递增．综上所述y＝fx在－2单调递减，y＝fx在2＋∞单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性？取值作差变形定号判断
y
－∞22＋∞y＝fx减函数增函数
2O22
切线斜率
负＜0
正＞0
x
4
fx
f一般地，设函数y＝fx在某个区间内可导，如果fx＞0，则fx为增函数；如果fx＜0，则fx为减函数．例2．教材P24面的例1。例3．确定函数fx＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：fx＝2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．因此，当x∈1∞时，fx是增函数．令2x－2＜0，解得x＜1．因此，当x∈－∞1时，fx是减函数．
321O123
y
x
例4．确定函数fx＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：fx＝6x2－12x．令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．因此，当x∈－∞0时，函数fx是增函数，当x∈2＋∞时，fx也是增函数．令6x－12x＜0，解得0＜x＜2．因此，当x∈02时，fx是减函数．利用导数确定函数的单调性的步骤：1确定函数fx的定义域；2求出函数的导数；3解不等式fx＞0，得函数的单调递增区间；解不等式fx＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2利用导数的符号来判断函数单调性设函数y＝fx在某个区间内可导1如果fx＞0，则fx为严格增函数；2如r