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湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）
姓名：
班级：
分数：
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程9x13x5的实数解为
．
2．函数ysi
xcosxxR的单调减区间是

3．在△ABC中，已知ABAC4，ABBC12，则AB＝

4．函数fxx2x12在区间02上的最大值是
，最小值是
．
5．在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，
其中A40、B68、C24，则R的取值范围为
．
6．设函数fx的定义域为R，若fx1与fx1都是关于x的奇函数，则函数
yfx在区间0100上至少有
个零点
7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出
条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值为
．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中
的一种．其中镀2金2银的概率是
．
（第7题）
9．在三棱锥ABCD中，已知ACBCBD，ACDADCBCDBDC
，且cos10．已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为
．
10
10．设复数列
x

满足x


a1，0，且x
1

ax

x
．若对任意
N1
都有x
3

x
，
则a的值是
．
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二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆Cx2y21上的三点．若4
OM3OA4OB，证明：线段AB的中点在椭圆x22y21上．
55
2
12．已知整数列a
满足a31，a74，前6项依次成等差数列，从第5项起依次
成等比数列．
1求数列a
的通项公式；
2求出所有的正整数m，使得amam1am2amam1am2．
13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，垂足H过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．证明：1点A、B、F、H共圆；2四边形BFCG是矩形．
14．求所有正整数x，y，使得x23y与y23x都是完全平方数．
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高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程9x13x5的实数解为
．
提示与答案：x＜0无解当x0时，原方程变形为32x3x－60，解得3x2，xlog32．
2．函数ysi
xcosxxR的单调减区间是

提示与答案：与fxy21si
2x的单调减区间相同，kkr