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例说平行线的两种传递功能
平行线有两个方面的重要性，其一，由两平行直线被第三条直线所截，可以得出多对相等的角，故平行线有传递角的功能；其二，由平行线分线段成比例定理，知平行线有传递线段比的功能。下面以中招试题为例，谈谈这两大功能的应用。一、传递角的功能例1求证：等腰梯形同一底上的两个角相等写出已知、求证、画出图形，并进行完整的证明。已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC。求证：∠B＝∠C。
证明：欲证∠B＝∠C，在图形中很难找出这两个角之间的关系。考虑到AD∥BC，可利用平行线构造出一个角来传递∠B或∠C。过D作DE∥AB交BC于E，则由AD∥BE，AB∥DE，知四边形ABED是平行四边形。于是AB＝DE。又因AB＝DC，可知DE＝DC，故∠DEC＝∠C。又由DE∥AB，知∠B＝∠DEC，于是∠B＝∠C。例2如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于F。求证：AD＝AF。
分析与简证：欲证AD＝AF，只需证∠3＝∠F即可。但证这两个角相等很难在△ADF中直接得到，不妨构造平行线来传递。过A作AG∥FE交BC于C，则由AG∥FE，知∠1＝∠F。下面再证∠1＝∠3即可。由FE⊥BC，AG∥FE，知AG⊥BC。又由AB＝AC，知∠1＝∠2；再由AG∥FE，知∠2＝∠3，从而∠1＝∠3。于是∠3＝∠F，故AD＝AF。从这两例可以看出，在某些中招试题中，用平行线传递角是解决这类问题的关键。
二、传递线段比的功能例3如图已知，正方形ABCD中，E是DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，
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f中小学最新教育资料恰好AP＝AB。求证：E为DC中点。分析与简证：要证E是CD的中点，由AP＝AB，故过A作AG⊥BP交BP于M，交BC于G，则由等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，知M为BP的中点。又由CF⊥BP，AG⊥BP，知AG∥CF。于是G是BC的中点。又AG⊥BP，知∠MBG∠BGM90°∠BAG∠BGM，因此∠CBE＝∠BAG。又∠ABG＝90°＝∠BCE，AB＝BC，故△ABG≌△BCE。而BC＝CD，G是BC的中点，从而E是CD的中点。
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