2017年全国高中数学联合竞赛一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1已知函数fxal
xx2在x1处有极值，则实数a的值是（）A2B1C1D22已知
，0，，ta
ta
是方程x23x10的两个根，则cos的值是（）
13
8
A
B
23
C
53
D
52
3在xyz的展开式。所有形如x2yazbabN的项的系数之和是（）A112B448C1792D143364已知F1，F2为椭圆
x2y21ab0的左，右焦点，该椭圆上存在两点AB使得a2b2
D（
F1A3F2B则该椭圆的离心率的取值范围是（）111A（0）B（0）C（，1）232
5已知△ABC中，ABBC3CAAB
1，1）3
，则
ACABBC
的最大值时（）
A
52
B3
C2
D5
6已知数列a
满足：a

数，则a2017的个位数是（A2B4

21


21
N，用x表示不超过实数x的最大整


）C6
D8
二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）
201625xk则f_________x255k120178设aR复数z1aiz22a2iz33a4i，其中i是虚数单位，若
7已知函数fx
z1
z2
z3成等比数
列，则实数a的值是___________
x2y21上的点，则xy的最小值是_________9若Pxy是双曲线84
10如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，α为过直线BD1的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________11已知实数x1x2x3满足：x1x2x3x1x2x2x32则x2的最大值是____
222
12
设
集
合
fM1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
Axyz丨xyzM且9丨x3y3z3



则集合A中元素的个数是___________三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13已知数列a
满足：a1aa
1
5a
8
Na
1


a
2成等比数列，并求出数列a
的通项公式；a4
（2）若对任意的正整数
都有a
3，求实数a的取值范围。
（1）若a3求证：数列
141993年，美国数学家FSmara
dache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smara
dache函数。正整数
的Smara
dache函数定义为
S
mi
m丨mN
丨m，比如：S22，S33，S63


（1）求数S（16）和S（2016）的值；（2）若S（
）7求正整数
的最大值r