2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1设集合SA0A1A2A3，在S上定义运算“”为：AiAjAk，其中k为ij
被4除的余数，ij0123则满足关系xxA2A0的xxS的个数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B．
提示：因为xxA2A0，设xxAk，所以AkA2a0k2即xxA2，
故xA1或xA3
答案：A．
2一个骰子由16六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”
的数字是（
）
A．6
B．3
C．1
D．2
3设函数
f
x2xcosx
a

是
公
差
为
8
的等差数列，
f
a1
f
a2

fa
5则fa32a1a5（
）
A．0
B．116
C．18
D．13216
答案：D．
提示：因为a
是公差为
8
的等差数列，且
fa1fa2fa5
2a1cosa12a2cosa22a5cosa55
即2a1a2a5cosa1cosa2cosa55，所以
1
f10a3

cos

a3

4


cos

a3

8


cos
a3

cos

a3

8


cos

a3

4


5
即10a3


2
cos
4

2cos
8
1cosa3

5
记
g

x

10x


2cos
4

2cos
8
1
cos
x

5
，则
g
x
10


2cos
4

2
cos
8
1si

x

0
，
即
g

x
在
R
为增函数，有唯一零点
x

2
，所以
a3

2

所以

f
a32

a1a5


2

2

2
0




2

4

2

4


1316
2
4设m
为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程z
izmi
与方程
z
izmim在同一复平面内的图形（其中F1F2是焦点）是（）
答案：B．
提示：z
izmi
表示以F10
F20m为焦点的椭圆且
0z
izmim表示以F10
F20m为焦点的双曲线的一支．由
z
izmim
，知m0故双曲线z
izmim的一支靠近
点F2．
5给定平面向量
11
，那么，平面向量

12
3
12
3

是将向量
11
经过
变
换得到的，答案是（
）
2
fA．顺时针旋转60所得
B．顺时针旋转120所得
C．逆时针旋转60所得
D．逆时针旋转120所得
答案：C．
提示：设两向量所成的角为
，则cos

1

2
3
12
3


11


1又
22
2

0
180
，所以

60
．又12
3

012
3

0，所以C
正确．
6在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两
场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B．
提示：设这3名选手之间比赛的场数是r，共
名选手参赛，依题意有
C2
3

6

r

50
，即



3
2

4

44r