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明目标、知重点
两角和与差的正弦、余弦、正切公式二
1能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2
能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明3熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
1．两角和与差的正切公式ta
α＋ta
β1Tα＋β：ta
α＋β＝1－ta
αta
βta
α－ta
β2Tα－β：ta
α－β＝1＋ta
αta
β2．两角和与差的正切公式的变形1Tα＋β的变形：ta
α＋ta
β＝ta
α＋β1－ta
αta
β．ta
α＋ta
β＋ta
αta
βta
α＋β＝ta
α＋β．ta
α＋ta
βta
αta
β＝1－ta
α＋β2Tα－β的变形：ta
α－ta
β＝ta
α－β1＋ta
αta
β．ta
α－ta
β－ta
αta
βta
α－β＝ta
α－β．ta
α－ta
βta
αta
β＝－1ta
α－β
情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处．小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角∠CAD约为45°求这座电视发射塔的高度．解设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，30则si
α＝67在Rt△ABD中，
fta
45°＋α＝
x＋30ta
α，30
30ta
45°＋α于是x＝－30ta
α30如何能由si
α＝求得ta
45°＋α的值呢？或者说能不能用si
α把ta
45°＋α表示出来67呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式．探究点一两角和与差的正切公式的推导si
α思考1你能根据同角三角函数基本关系式ta
α＝，从两角和与差的正弦、余弦公式cosα出发，推导出用任意角α，β的正切值表示ta
α＋β，ta
α－β的公式吗？试一试．si
α＋β答当cosα＋β≠0时，ta
α＋β＝cosα＋βsi
αcosβ＋cosαsi
β＝cosαcosβ－si
αsi
β当cosαcosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得ta
α＋ta
βta
α＋β＝1－ta
αta
β根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得ta
α＋ta
－βta
α－ta
βta
α－β＝＝1－ta
αta
－β1＋ta
αta
β思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？π答在公式Tα＋β，Tα－β中α，β，α±β都不能等于kπ＋k∈Z．2探究点二两角和与差的正切公式的变形公式思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：ta
α±ta
β＝ta
α±β1ta
αta
β，ta
α＋ta
βta
α－ta
βta
αta
β＝1－＝－1ta
α＋βta
α－β这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的．请利r