2013全国高考文科数学
函数与导数专题
邓老师
2013年全国各省市高考文科数学试题分类汇编：函数与导数
1（2013年安徽卷文20题）（本小题满分13分）设函数fxax1a2x2，其中a0，区间Ixfx0
（Ⅰ）求I的长度（注：区间的长度定义为；
（Ⅱ）给定常数k01，当1ka1k时，求I长度的最小值
【解析】
（1）令fxxa（1a2）x0解得x10
I

x

0

x

a1a2


I
的长度
x2

x1

a1a2
（2）k01则01ka1k2
x2

a1a2
由
（1）
I

a1a2
I
1a21a22
0，则0a1
故I关于a在1k1上单调递增，在11k上单调递减
I1

1k
11k
2

2
1k2k
k2
I2
1k1（1k）2
1kImi
22kk2
【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考
查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力
2（2013年北京卷文18题）本小题共13分
已知函数fxx2xsi
xcosx
（1）若曲线yfx在点afa处与直线yb相切，求a与b的值。
（2）若曲线yfx与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。
1
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函数与导数专题
邓老师
3（2013年福建卷文22题）（本小题满分14分）
已知函数
f
x

x
1
aex
（
a
R
，
e
为自然对数的底数）．
（1）若曲线yfx在点1f1处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）求函数fx的极值；
（3）当a1的值时，若直线lykx1与曲线yfx没有公共点，求
k的最大值．
本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合
思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．
解：（Ⅰ）由
f
x

x
1
aex
，得
f

x
1
aex
．
又曲线yfx在点1f1处的切线平行于x轴，
得f10，即1a0，解得ae．
e
2
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函数与导数专题
邓老师
（Ⅱ）
f

x
1
aex
，
①当a0时，fx0，fx为上的增函数，所以函数fx
无极值．
②当a0时，令fx0，得exa，xl
a．
xl
a，fx0；xl
a，fx0．
所以fx在l
a上单调递减，在l
a上单调递增，
故fx在xl
a处取得极小值，且极小值为fl
al
a，无极大值．
综上，当a0时，函数fx无极小值；
当a0，fx在xl
a处取得极小值l
a，无极大值．
（Ⅲ）当
a
1时，
f
x

x
1
1ex
令
gx

f
xkx1
1kx
1ex
，
则直线l：ykx1与曲线yfx没有公共点，
等价于方程gx0在R上没有实数解．
假设k
1，此时
r