高等数学教学教案
第四章微分方程
授课序号01
教
教学课题教学方法教学重点参考教材大纲要求
学
基
本
指
标
新知识课
第四章第一节微分方程的概念讲授、课堂提问、讨论、启发、自学微分方程的基本概念
课的类型教学手段教学难点
黑板多媒体结合
特解，通解课后习题
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
教
学
基
本
内
容
一、基本概念：1、微分方程：含有未知函数及其它的导数与自变量之间的关系式称为微分方程（其中自变量、未知函数可以在方程中不出现，但未知函数的导数必须出现）2、微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶一阶微分方程的一般形式为
Fxyy0
二阶微分方程的一般形式为
Fxyyy0

阶微分方程的一般形式是
Fxyyyy
0
其中x为自变量，yyx是未知函数在方程中y

必须出现，而其他变量可以不出现
3、微分方程的解：把函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解更确切地说，设函数
yx在区间I上有
阶连续导数，如果在区间I上，有
fFxxxx
x0
则称函数yx为微分方程10在区间I上的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）4、微分方程的初值问题：许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题二、定理与性质：三、主要例题：例1一曲线通过点12，且在该曲线上任一点Mxy处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程例2列车在平直线路上以20ms相当于72kmh的速度行驶，当制动时列车获得加速度04ms2开始制动后多少时间列车才能停住列车在这段时间里行驶了多少路程例3已知放射性物质镭的裂变规律是：裂变速度与余存量成比例记在某一时刻tt0镭的余存量为R0克，试确定镭在任意时刻t的余存量Rt例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温r