2016年数学中考专题复习：函数综合题1
1如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连接PP，PA，PC．设点P的横坐标为a．（1）当b3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D．当PD：DC1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形．
【专题】综合题
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；
②把（1，m）代入函数解析式即可求得m的值；
（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为ykx3，
把x4，y0代入得：4k30，∴k3，4
∴直线的解析式是：y3x3，4
②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m31315；
4
4
（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴PDPP，即2a1，∴a4；
DCCAa43
5
1
f（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C90°，P′AP′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．∴PP′CHAHP′H1AC．∴2a1（a4）
2
2
∴a4∵P′HPC1AC，△ACP∽△APB
3
2
∴OBPC1，即b1，∴b2OAAC242
2）若∠P′AC90°，P′ACA则PP′AC
∴2aa4∴a6
∵P′APCAC，△ACP∽△AOB
∴OBPC1，即b1∴b4
OAAC
4
3）若∠P′CA90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角
形；③当P在第三象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三
角形．
∴所有满足条件的
a，b
的值为
ab

432
或
ab

44
2
f【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．2已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的r