第30届全国中学生物理竞赛复赛试题解答与评分标准
【参考解答】以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向水平方向分量v及经线切向分量v设滑块质量为m，在
O
某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为
由机械能守恒得：

111222mv0mgRsi
mvmv222
1
P
这里已取球心O处为重力势能零点以过O的竖直线为轴球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故
mv0RmvRcos
由1式，最大速率应与的最大值相对应而由2式，q不可能达到π
2
vmaxvmax
3
2由1和2式，q的最大值应与v0相对应，即vmax04
224式也可用下述方法得到：由1、2式得2gRsi
v0ta
2v0
若si
0，由上式得
si
2gR22cosv0si
max2gR22cosmaxv0
4’
实际上，si
0也满足上式。由上式可知
22由3式有vmax2gRsi
maxv0ta
2max0
222将vmax0代入式1，并与式2联立，得v0si
max2gRsi
max1si
max05


以si
max为未知量，方程5的一个根是si
q
0，即q0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求
22maxv0si
max2gR0
的解于是si
max0约去si
max，方程5变为2gRsi
其解为si
max
2v0g2R21161744gRv0
6
注意到本题中si
0，方程6的另一解不合题意，舍去将7式代入1式得，当max时，
2v
124v0v016g2R22


8
考虑到4式有
2vmaxv
124v0v016g2R22


9
【评分标准】本题15分1式3分，2式3分，3式1分，4式3分，5式1分，6式1分，7式1分，9式2分【参考解答】1由于碰撞时间t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束设碰后A、C、D的速度分别为vA、
vC、vD，显然有
vD
2lvCr
1
以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒
1
fmvD2lmvCrmvA2lmv02l
2
由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒又由于碰撞时间t很小，
弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化故
12121212mvDmvCr